BazarAmericano.com

Música y fractales

Adolfo Núñez

Adolfo Nuñez es responsable del diseño Y director del Laboratorio de Informática y Electrónica Musical del Centro para la difusión de la música contemporánea de Madrid.

Creo que a muchos nos suena la palabra fractales y siempre nos pareció algo curioso y mágico a la vez. Tal vez hemos oído que tienen que ver con la autosemejanza, y que ayudan a resolver problemas de gráficos por ordenador, composición musical automática y síntesis de sonido... Lo cierto es que, a los músicos, su conocimiento y use nos puede ser muy útil, no solo para reflexionar y entender mejor algunos aspectos de la naturaleza del arte y de la música, sino también para explorar en las formas musicales, en procedimientos automáticos de composición "más naturales", o en la síntesis de nuevos timbres y en cualquier caso como fuente de inspiración. Con este artículo y otro que le seguirá, se pretende dar una panorámica de estas criaturas y algunas de sus aplicaciones musicales.
El término fractal viene de la geometría. Su padre, Benoit B. Mandelbrot, matemático investigador de IBM, estuvo siempre muy interesado en fenómenos geométricos que, descubiertos por sabios en su mayoría legendarios y marginados, no encajaban fácilmente en las teorías "normales". Reunió a muchos de estos engendros en algunas publicaciones, como su libro The Fractal Geometry of Nature, y en un alarde de genialidad los relacionó más o menos en un tronco común, la geometría fractal, que intenta explicar las formas de la naturaleza.
Un fractal es, grosso modo, una curva o línea quebrada que lo es tanto que la longitud de cualquier trozo de ella es infinita. Además, su dimensión es una fracción entre 1 y 2, es decir, un fractal es algo entre una línea cuya dimensión es 1 y una superficie cuya dimensión, 2.
Lo elegante es que estas líneas se pueden generar por medio de operaciones matemáticas o geométricas muy sencillas repetidas una y otra vez (ver fig. 1). Una propiedad muy importante es que son autosemejantes, es decir, sus formas se repiten tanto en escala pequeña como en grande. Lo realmente espectacular es que algunas de estas líneas recuerdan muchísimo a formas de la naturaleza, desde el perfil de una isla al de un grano de arena o los nervios de una hoja. Con ello Mandelbrot demuestra su validez como mejores modelos de la naturaleza que las líneas geométricas clásicas (triángulo, círculo, etc.) y además nos hace ver una vez más lo sabia y vaga que es la naturaleza para manejar la información.
Lógicamente, donde más pronto encontró aplicación todo esto fue en las artes plásticas, concretamente en los gráficos por ordenador. Se han generado fractales que superan la imaginación más calenturienta y a la vez nos proporcionan placer estético. También se han generado dibujos muy realistas de continentes, montañas, planetas, paisajes, galaxias, etc. que nunca existieron. Si no recuerdo mal, en películas como El imperio contraataca, los informáticos de Lucas Films utilizaron estas técnicas extensivamente para generar los "exteriores".

La utilización en música, especialmente en composición automática, no tardó en Ilegar, en parte gracias a los descubrimientos de Voss y Clarke que relataremos más adelante. Pero antes vamos a repasar un poco que es esto de la composición automática, que, como su nombre indica, consiste en que un mecanisrno o procedimiento se encarga de componer música. Es clásico el juego que utilizaba Mozart para componer minuetos mediante una tabla de la que se elegía un patrón y otro según el resultado del lanzamiento de unos dados. Con la aparición de los ordenadores, se aceleraron las investigaciones y en 1956 se estrenó la Suite Illiac, la primera obra compuesta automáticamente por ordenador, programado por Hiller y el matemático Isaacson. Aquella música no era gran cosa; algo que podría hacer un alumno con conocimientos precisos de armonía pero sin imaginación. Desde este intento hasta hoy, los métodos de composición automática se han ido perfeccionando y muchas veces se han utilizado en conjunción con otras técnicas más humanas. Se integran plenamente dentro de los problemas más complejos de inteligencia artificial.
En la composición automática o asistida por ordenador se pueden distinguir dos tendencias: la que utiliza procesos aleatorios y la que utiliza procesos deterministas. Hoy examinaremos la primera. En ella se generan números al azar (aleatorios) que después son traducidos en parámetros musicales (nota, duración, timbre, etc.) que a su vez son filtrados mediante regias, es decir si no cumplen con las características de la música que se quiere componer se rechazan y se prueba con otros números aleatorios hasta obtener un resultado aceptable. En la segunda, el caso determinista, se programa directamente el ordenador sin utilizar el azar para obtener la música. Un ejemplo de proceso determinista muy sencillo seria el que realizan algunos secuenciadores que permiten tocar la música al revés. Como veremos, los fractales pueden ser utilizados en las dos tendencias de composición asistida por ordenador.

Y entramos de Ileno en la música aleatoria. A la hora de generar este tipo de música mediante ordenador los compositores se han preguntado si sería posible, ajustando determinados parámetros, generar distintos tipos o estilos de música al igual que podemos cambiar por ejemplo el tiempo de ataque de un sonido en un sintetizador. Otra cuestión que se ha planteado es si los parámetros que gobiernan esos procesos aleatorios son significativos para nuestra percepción. Los compositores normalmente han contestado a estas preguntas mediante tanteo, es decir, escribiendo programas de ordenador y comprobando si los resultados eran satisfactorios. Voss hacia 1976 investigo de manera opuesta; partiendo de música preexistente midió dos propiedades estadísticas, que por otra parte se emplean normalmente para analizar señales aleatorias o ruidos: la densidad espectral de potencia y la autocorrelación.
Simplificando, se puede decir que la densidad espectral de potencia indica cuanto fluctúa la potencia en cada frecuencia, y la autocorrelación mide la relación que hay entre el valor de esa señal en un momento determinado y los que tuvo en el pasado, es decir, lo predecible que es. Existen en la naturaleza tres ruidos típicos: ruido blanco, browniano y 1/f. El ruido blanco, al igual que la luz blanca, contiene todas las frecuencias, por lo que su densidad espectral es constante; su autocorrelación es cero, lo que significa que sus variaciones son totalmente impredecibles. El ruido pardo o "browniano" tiene una densidad espectral que varía con 1/fZ (siendo f la frecuencia), y su autocorrelación es alta; es decir, tiende a variar lentamente y es bastante predecible en fragmentos cortos. Y por último hay un ruido intermedio cuya densidad espectral varía como 1/f y que tiene la extraordinaria propiedad de que su autocorrelación es la misma en todas las escalas de tiempo, lo que en cristiano significa que el valor en un instante esta igual de "influido" por el valor anterior, que por los 10 valores anteriores, que por los 100 anteriores, y asi sucesivamente con 1000, 10.000, etc. Es decir, es el ruido que mas memoria tiene.

Esta autocorrelación del ruido 1/f se traduce en autosemejanza que en este caso es estadística y no exacta. Sin embargo los fractales generados partiendo de un iniciador (por ejemplo, un cuadrado) y del generador (una línea quebrada) -el nivel 1 se obtiene sustituyendo cada segmento del iniciador por el generador y para obtener el nivel 2 se realiza lo mismo en cada segmento del nivel 1- tienen un comportamiento como el ruido 1/f. Y resulta que también muchas cantidades que fluctúan con el tiempo en la naturaleza se comportan como el ruido 1/f, he aquí algunas: el nivel de las inundaciones de los ríos, el ruido en semiconductores, la actividad de las manchas, el tránsito en una autopista... y la música.
Efectivamente, Voss y Clarke midieron durante intervalos largos la densidad espectral de las fluctuaciones lentas (de 0,1 a 10.000 segundos) de la potencia sonora (amplitud) y la frecuencia de diversas señales musicales, es decir la evolución estadística de las notas y frases y de la melodía. Observaron que estas fluctuaciones también se acercan mucho a 1/f. En las figuras 6 y 7 se representan en escala logarítmica algunas de sus mediciones. Se observa que su gráficas son bastante paralelas a la del ruido 1/f. Los picos en la gráfica de Scott Joplin corresponden a la preponderancia de ciertos ritmos. Se ve también (fig. 7) que en bajas frecuencias, correspondientes a fragmentos de unos 300 segundos, las gráficas del bluesjazz y rock se hacen más horizontales (más parecido al ruido blanco); ello indica evidentemente el límite de duración de las piezas en este tipo de música, es decir, cuando la canción se ha acabado no hay correlación con la próxima.

Este comportamiento 1/f de la música no nos debe extrañar, ya que tiene, por lo general, una estructura muy jerárquica: notas, frases, secciones, etc. La autosemejanza del ruido 1/f y de los fractales es también una forma de jerarquía aunque más primitiva.
Todos estos conocimientos se pueden aplicar a la composición automática. Por ejemplo, generar melodías aleatorias siguiendo los tres modelos de ruidos (blanco, pardo y 1/f) asignando los valores a duraciones y alturas de notas. Esto se puede de programar fácilmente y oír en cualquier ordenador que tenga posibilidad de música, con una instrucción del tipo PLAY (DUR, NOT) que tocaría una nota de duración DUR y altura NOT (do, re, etc. o el número MIDI de tecla).

Vamos a generar una melodía tipo ruido blanco dentro de 2 octavas sobre el Do central del piano y utilizando solamente las notas blancas. Las duraciones podrán ser de semicorchea, corchea, negra y blanca. El programa debe realizar una simulación del experimento aleatorio siguiente: se introducen 15 bolas distintas en una urna correspondientes a las 15 notas y otras 4 bolas en otra urna simbolizando las 4 duraciones. Se extrae al azar una bola de cada urna; supongamos que obtenernos respectivamente 11 y 1, esto nos proporcionaría la primera nota, el Fa agudo semicorchea, de la melodía "ruido blanco”. Devolvemos las bolas a las urnas y repetimos el procedimiento hasta que nos cansemos. El hecho de devolver las bolas a la urna hace que cada nota sea totalmente independiente de las que han salido anteriormente, lo que es característico del ruido blanco.
Hagamos ahora una melodía tipo ruido pardo con las mismas notas y duraciones. En el ruido pardo lo que es aleatorio no es valor en sí, sino el intervalo que se suma al valor previo. El programa de ordenador podría simular lo siguiente: se introducen en una urea bolas con los números -2, -1, 1 y 2 que corresponden al intervalo a restar (descender) o sumar (ascender) a la nota anterior; en la otra urna se introducen los mismos números (-2, -1, 1, 2) correspondientes al intervalo en duración a restar o sumar a la duración anterior. Partiendo de la primera nota, Si negra, obtenemos de nuestras urnas -2 y +1, lo que nos da la segunda nota, un Sol (descendiendo 2 desde el Si) que dura una blanca (de negra a blanca se "ascendiende" 1). AI programar esto hay quo tener en cuenta quo la melodía puede llegar un momento en que se salga de los límites en altura o en duración. Para evitarlo se pueden usar bordes reflectantes, es decir si hemos Ilegado al 00 más agudo y nos sale el intervalo +2, el valor siguiente sería el La inmediatamente inferior, como si la melodía hubiera rebotado. Otro tipo de bordes pueden ser: no reflectantes (la melodía se queda peqada al borde hasta quo se obtiene un intervalo que la "despega") o elásticos (conforme nos acercamos a un borde la probabilidad de acercarse más disminuye).
Para la melodía "ruido 1/f” vamos a utilizar un procedimiento sugerido por Voss que lo aproxima bastante bien: supongamos que queremos una melodía de 8 notas, para ello lanzarnos tres dados de distintos colores. Los números de orden de las 8 notas de la melodía se escriben en una tabla del 0 al 7 y en sistema binario: 000, 001, 010, hasta el 111. Se asigna un dado a cada uno de los tres bits. Por ejemplo, el dado rojo al bit menos significativo, el verde al hit medio y el azul al más significativo. Cada nota de la melodía se obtiene sumando los tres valores obtenidos lanzando los tres dados, pero teniendo en cuenta quo solo se lanza cada dado cuando su bit cambie. Las sumas posibles de 3 dados varían entre 3 y 18, es decir 15 valores en total que se asignan a las mismas notas de los dos ejemplos anteriores. Al haber dados quo no varían de una nota a otra, la melodía parece que "recuerda" de alguna manera valores anteriores y tiene una estructura jerárquica en tres niveles. Si se realizara una melodía 1/f por un procedimiento equivalente a este con más dados y aplicado también a las duraciones, el ruido 1/f se podría obtener en teoría realizándolo con un numero infinito de dados con infinito número de caras.
Como puede apreciarse en los ejemplos la melodía tipo ruido blanco es muy impredecible y aleatoria. En cambio la de ruido pardo procede muy gradualmente y es demasiado predecible, como dice Gardner recuerda a un borracho dando tumbos, no se sabe hacia donde será el próximo paso pero si quo no se alejará mucho de su posición anterior. La música 1/f es un caso intermedio y "es casi buena", se acerca bastante a la música normal. Voss tocó melodías de estos tres tipos durante dos anos por distintas universidades y tanto profesionales como aficionados corroboraron estas impresiones. Es por lo quo sugirió quo la música aleatoria debe de realizarse utilizando ruido 1/f en vez de usar el ruido blanco como se había hecho hasta entonces con más o menos variantes y mejoras.
Pero hemos visto quo la cualidad más importante para música es la autosemejanza. Se pueden utilizar variantes al procedimiento de los dados quo generarían una gran variedad de melodías autosemejantes alterando muy pocos parámetros. En el próximo artículo veremos cómo se puede hacer esto y también cómo se puede utilizar la geometría fractal para componer música automática en el caso determinista, así como para la síntesis de timbres y música sincronizada con gráficos por ordenador.